アルバイトから正社員へ
アルバイトからの正社員ですが、狭き門ですが可能性はあります。技術や知識、センスなどというものは後から付いてくるものなので問題にはなりません。それよりも、この子は正社員にしたい！と思う人は思考力や言語表現力、意志の強さや責任感など、デザイン系プロフェッショナルスキルではなく、ビジネススキルの高い人が正社員になり易いと思います。
地方などのwebデザイナーなどは初心者でも歓迎！という会社も点々とあります。
「意欲はあります！頑張ります！」と見せれば受かる事はあると思いますが、本当にその会社が初心者を教育するつもりがあるかをしっかりと見定める必要があります。
ＷＥＢデザイナーのスキル
webデザイナーになるなら自分でHTMLが打てるくらいの勉強は必要です。
パート系ならともかく正社員でいきたいならHP作成ソフトとHTMLの勉強はやってて損はありません。
実際HTMLを手打ちで打っていられるほど現場は時間がありませんが、HP作成ソフトしか弄れないのでは仕事になりません。
ただ、webデザインにしてもグラフィックデザイナーにしてもセンスと貪欲さがあれば予備知識なしでもすぐに仕事を覚えていく方は
確かにいます。質問者の方が機械の操作には自信がある、またはもともとイラストがある程度サクサク描けるタイプの方なら心配ありません。
さらにillustraterやflashの知識があると良いです。中途採用は即戦力でないと採用はありませんね。最低でも業界の標準となるスキルを持っていないと、よほどそれを補う何かがない限り相手にされません。年齢的にお若いのですから、専門学校で基本的なスキルやビジネスとしてのデザインを学ぶのも良いと思います。